6.2.

链接：深入思考  总结、回忆、笔记本

数学进入中级、高级阶段之后，要不断加大深入思考时间在所有学习数学时间中的比例。

总结

做题贵精不贵多。做一道题，不是为了考试时能够碰到这道题，而是为了能够在考试时会做类似的题目。因此，在做这道题的过程中，你要有清晰的思路，思考这道题用了什么基本原理、基本概念、基本技巧、公式等。你要养成这样思考的习惯，慢慢的，你的分析问题的能力就增强了。

做完题目要总结一下，可以用几句话记在本子上，可以记录下解题技巧、所用公式、定理，可以联想一下类似的题目，将这道题目归结到某一类题型中去。

王散以前学习数学时主要就是做练习，做练习的方法就是一道题一道题的往后做，做出来就完事，做不出来就换一道接着做。做题前后很少深入思考。

后来，他改进了学习方法，做题时仔细想想到底用了什么原理、公式、概念、基本技巧等。这样，做题速度下降了，考试成绩暂时下降了，但他继续坚持，几个月后，他的数学进步很快。

总结和深入思考自己的解题技巧与老师（参考书）的差异

如果你做的题目少（例如很多数学初级阶段者），你主要是积累各种解题技巧。当你做了比较多题目后，你就要每过一段时间总结一下，找出自己的解题技巧与老师（参考书）的差异。进入高级阶段之后，如果你发现很多情况下，你的解题技巧比老师（参考书）的更清晰更巧妙。

琢磨命题人的思路

用长时间反复、深入思考典型题目（尤其是历年考题中的思路巧妙的题目），思考命题人是从哪个角度出题的，命题人目的是为了考察哪个概念和公式的，某道题目是如何从其他题目改头换面出来的。在这个过程中，你会总结出一些规律，例如：“所有类似的题目都可以转化为函数！所有同一类型的题目都可以转化为方程（组）试一下！”你总结规律时，无论自己总结出的规律多么怪异和可笑，都应记下来，并确信它们。在未来的学习中，你通过思考和练习，将某些自己总结出的不实用的或者错误的规律抛弃，把正确的有效的规律保留下来。

解题思路

对于数学的某一道题目，有了正确的解题思路，即使你没有做对，也算基本掌握了。反之，一道题目你即使做对了，但如果这道题目的解题思路仍然含混不清，这道题目也不算掌握。

积累解题思路：每做出一道“新”题，你就要把解题思路总结出来并加以记忆，这样，你就积累了一个解题思路。此外，你也可以不做题，通过“看题”，来积累解题思路，例如，看自己以前做过的题目的解题思路，看有详细解题过程的习题集的参考书，等等。

有了解题思路就不必再做：除非很典型的好题目，某道题目你看一眼就马上有了正确的解题思路，就不必再做了，赶紧去做下一道题目吧！

容易题的解题过程：弄清楚题目的已知条件和所求的结果后，思考出如何从已知条件推出结果，或者如何从结构推出已知条件，就是找到解题思路了，把解题思路用公式、文字等表述出来，题目就算解决了。

题目做完后总结解题思路：题目解出之后，要通过思考总结出解题思路和解题技巧的规律，然后把这些解题规律记在脑子里和笔记本中，规律积累多了，要深入思考各种规律的深层联系，规律越来越简化和全面。

只深入思考值得思考的题目

如果你发现了一道你感觉很好的、很典型的题目，你想了几分钟，仍然不会做时，你就要深入思考，无论是花几十分钟甚至数个小时，都决不能轻易放弃，也不能轻易看答案、看解题过程。

通过深入思考，你终于把一道典型题目做出来之后，你还要仔细总结，使解题技巧清晰化。例如，你可以总结出这道题给的条件和解题思路是怎么联系起来的；你还可以总结出如果改变条件，如何找到新的思路；你还可以总结出这道题目是如何借助解题技巧来运用知识点的；你还可以总结出这道题目的解题技巧能否运用到其他题目中去；你还可以总结出这道题目的解题技巧中更普遍的东西，找到解决所有类似题目的通用的解决方法。

然后，把你总结的东西记在笔记本上。

笔记本

平时做题时，要把学习心得，如对某些概念和知识点的理解、自己总结的解题技巧等等，记在笔记本上，如“此类题型可以先用替换法尝试，如果不行，就用数形变换的方法，如果还是不行，就转化为方程。”这样，你更容易形成解题技巧的体系。

知识点和解题技巧：做完一道典型题目后，你要把题目所运用和对应的知识点，如概念、公式、定理记在笔记本上。把这类题目的解题技巧记在笔记本上。

解题技巧的系统化和简化：把你自己总结的和从老师、参考书上积累的解题技巧记在笔记本上，解题技巧积累到一定程度，你就应该进行系统化：把重复的解题技巧合并起来，把无用的解题技巧抛弃，把类似的解题技巧简化，把相关的解题技巧联系起来。最终，你要达到这样一个境界：所有的基本题、多数中等题、典型的难题和综合题的解题技巧都掌握的非常清晰、非常系统，并且通过使合并、抛弃、简化、联系，使解题技巧的数量达到最小。

必须使用的方法、可以选择使用的方法、一定不能使用的方法：每隔一段时间，你要把以前做过的典型题目放在一起深入思考，找出相同的规律。你既要找出解决某类问题必须使用的方法，也要找出可以选择的其他方法，还要找出一定不能使用的方法。这些规律可以用一、两句话记在笔记本上。

回忆再现

（主要适用于已经形成解题技巧体系、数学处于高级阶段者）

有的人，考试时稍微紧张时，就不能做出本来应该能做出来的题目，记住以前做过的题目的最好的学习方法就是“回忆再现”。

你要经常回忆再现你以前做过的题目，回忆再现你已经形成的解题技巧体系外。此外，你还要：

从整体上找出思维上的漏洞、混乱之处。好的数学老师、好的参考书，会形成一套完整、清晰的解题技巧和解题思路的知识体系。抽出专门的时间，借助某些典型题目，从整体上回忆、找出自己思维上的漏洞、混乱之处。

经常回忆再现笔记本上的内容。

建立题库

题库：随意练之后，你可以把笔记本、课本、参考书上的典型的、解题思路变化多的、解题技巧妙的、自己经常做错的题目收集起来，用剪刀、胶水和大本子做成一个题库，以备随时复习，随时思考，随时总结回忆。

利用最新技术建立题库：如果你的经济实力强，对新技术使用能力强，你可以借助计算机网络、电脑、数码相机、复印机等软硬件，就能很快建立起自己的题库，这样，更容易找到自己想做的习题。你甚至可以自己编写一些计算机程序和数据库，更方便归类和搜索。

常见的数学解题方法

记忆、总结一些常见的数学解题方法，对某些人来说，是有效的，但你必须把这些解题方法运用到具体的题目中，并自己总结出清晰的、确切的、完整的解题技巧体系。常见的数学解题方法有：

配方法、换元法、消去法、待定系数法、数学归纳法、转化为三角、转化为方程（组）、拆分与组合、变量代换、构造平面几何图形，反证法，从结论出发进行逆推、找出隐含条件、由特殊到一般、由一般到特殊、利用三角、直线、圆的特性解方程和方程组、利用方程和方程组解决解析几何、类比、用物理学的基本原理解某些数学题、整体代换、局部代换、对称代换、逆向代换、构造恒等式、构造方程、构造函数、构造数列、构造复数、构造几何图形、构造物理模型、构造解析模型、用几何解代数、用代数解几何、用几何解三角、用三角解几何逆用公式等。

但是，随着你做的题目越来越多，随着你数学的进阶，你要越来越淡化这些解题方法，不断强化“题感”。只有这样，你考试时，才能又快又准又灵活。

深入思考长长练、深入思考无间隙

（适用于数学处于高级阶段者）

由于数学的高度抽象性，很多人在学习其他课程时，如果突然转到数学，往往不易很快把思维转换到要解决的数学问题上。通过“深入思考长长练”这种方法、养成深入思考无间隙的习惯等等，能很好的提高思维转换速度。

有时，在做某道数学题时，你会突然想到某些以前做过的其他习题。这时，你可以先把其他习题记在笔记本上，等做完了正在做的题目，再仔细思考其他习题。有时，你会发现它们的深层联系。

高级方法——把握数学核心思想——数学的特征

一旦把握了某门课程的核心思想，这门课程往往会学习的非常好。数学也不例外。

数学的特征：高度抽象性、严格准确性、紧密逻辑性、广泛应用性、完整系统性、灵活多变性。

一、高度抽象性：很多数学概念是从现实生活中抽象出来的，如连续性和不连续性等概念、无穷多和无穷小的概念等等。因此，在学习新的数学概念，深入思考以前学过的某些数学概念时，你可以尝试着用你对现实生活的思考、对某些“常识”的理解来抽象出某些数学概念。例如，一个人是不连续的，但大城市下班后的人流可以看成连续的。一条直线可以看成无穷多个无穷小的点组成。

养成了经常从现实中抽象出数学概念很重要这个习惯后，你就不再对数学的应用题，甚至生物、化学、物理的应用题感到害怕了。因为在你的心目中，抽象的东西不过如此。

数学的高度抽象性决定了它只是反映了事物的某一个方面，这要求我们在做数学应用题时，你要善于将事物具备数学特征的东西抽象出来，而不要被其他的东西所迷惑。

二、严格准确性：数学的严格准确性决定了你必须做相当数量的习题，而且，对于某些题目，你还要反复训练，确保解题步骤和答案准确无误。

三、数学的高度抽象性和严密逻辑性决定了我们在面对数学难题时，碰到较难理解的数学概念时，必须深入思考；而且，有时，你必须加大学习强度和提高“狠劲”。

四、广泛应用性：数学本身的抽象的数学体系推导出的纯理论的东西，仍然会在现实生活中得到应用：日常生活中经常使用最普通的数学概念和结论；“精确科学”如力学、物理学、天文学等等都是用公式来表达自己的定律，都很深刻、很广泛的应用了数学；化学、地理、生物、经济学等等学科也在不同程上应用了数学。

因此，你要经常思考如何用数学解决物理、新技术、生物、化学等。

五、数学的完整系统性决定了你要想学好数学，就必须形成完整的知识体系和解题技巧的体系。

六、数学的灵活多变性决定了你要想学好数学，就要不断的精炼和简化你大脑中的数学体系，并寻求“一题多解、多题一解”的方法，甚至“自己出题”。

高级方法——养成用数学思维思考的习惯

（适用于数学处于高级阶段或者学习数学的时间比较充裕的人）

数学具备高度抽象性、严格准确性、紧密逻辑性等特性，养成用数学思维思考问题的习惯，学会把自己的思维变成数学思维，你的数学会非常好。这要求你在平时细心体会并不断训练。

经常抽象出数学概念很重要，你不断从现实生活、从某些“常识”中抽象出某些数学概念，养成了这个习惯后，你就不再对数学的应用题，甚至生物、化学、物理的应用题感到害怕了。因为在你的心目中，抽象的东西不过如此。

数学的广泛应用性，你要养成如何用数学工具解决物理、新技术、生物、化学等问题的习惯，这样，你对数学工具的运用就会越来越精确，你的反应就会越来越快。

课本上的某些不要求掌握其证明过程的公式、定理可以自己尝试着证明一下，即使证明不出来，也有助于你养成用数学思维思考问题的习惯。